Як пояснити дитині про площу квадрата

Своєрідна доля інших теорем і завдань. Як пояснити, наприклад, настільки виняткову увагу з боку математиків і любителів математики до теоремі Піфагора? Чому багато хто з них не задовольнялися вже відомими доказами, а знаходили свої, довівши за двадцять п’ять порівняно доступних для огляду століть кількість доказів до декількох сотень?
Коли мова йде про теорему Піфагора, незвичайне починається вже з її назви. Вважається, що сформулював її вперше аж ніяк не Піфагор. Сумнівним вважають і те, що він дав її доказ. Якщо Піфагор – реальна особа (деякі сумніваються навіть в цьому!), То жив він, швидше за все, в VI-V ст. до н. е. Сам він нічого не писав, називав себе філософом, що означало, в його розумінні, «прагне до мудрості», заснував піфагорійський союз, члени якого займалися музикою, гімнастикою, математикою, фізикою та астрономією. Мабуть, був він і чудовим оратором, про що свідчить наступна легенда, що відноситься до перебування його в місті Кротоні: «Перша поява Піфагора перед народом в Кротоні почалося промовою до юнаків, в якій він так суворо, але разом з тим і так захоплююче виклав обов’язки юнаків, що найстаріші в місті просили не залишити і їх без повчання. У цій другій промові він вказував на законність і на чистоту моралі, як на основи сімейства; в наступних двох він звернувся до дітей і жінок. Наслідком останній промові, в якій він особливо засуджував розкіш, було те, що в храм Гери доставлені були тисячі дорогоцінних суконь, бо жодна жінка не наважувалася більше показуватися в них на вулиці. »Проте ще в другому столітті нашої ери, т. Е. Через 700 років, жили і творили цілком реальні люди, неабиякі вчені, що знаходилися явно під впливом пифагорейского союзу і пов’язані з великою повагою до того, що згідно з легендою створив Піфагор. < br/> Безсумнівно також, що інтерес до теоремі викликається і тим, що вона займає в математиці одне з центральних місць, і задоволенням авторів доказів, що подолали труднощі, про які добре сказав жив до нашої ери римський поет Квінт Горацій Флакк: «Важко добре висловити загальновідомі факти ».
Спочатку теорема встановлювала співвідношення між площами квадратів, побудованих на гіпотенузі і катетах прямокутного трикутника:
У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів. .
Алгебраїчна формулювання:
В прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
Те тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b: a 2 + b 2 = c 2. Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друга формулювання більш елементарна, вона не вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу і вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.
Зворотній теорема Піфагора. Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, такий, що
a 2 + b 2 = c 2. існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доказів даної теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.
Зрозуміло, концептуально все їх можна розбити на мале число класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні і екзотичні докази (наприклад за допомогою диференціальних рівнянь).


Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчній формулювання – найбільш просте із доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, вона не використовує поняття площі фігури.
Нехай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо її підставу через H. Трикутник ACH подібний трикутнику ABC з двох кутах. Аналогічно, трикутник CBH подібний ABC. Ввівши позначення

отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

або

Докази методом площ

Нижче наведені докази, незважаючи на їх позірну простоту, зовсім не такі прості. Всі вони використовують властивості площі, докази яких складніше докази самої теореми Піфагора.

Доказ через равнодополняемость

1. Розмістимо чотири рівних прямокутних трикутника так, як показано на малюнку.
2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, так як сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут – 180 °.
3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a + b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

Що і треба було довести.

Докази через равносоставленності

Приклад одного з таких доказів вказано на кресленні праворуч, де квадрат, побудований на гіпотенузі, перестановкою перетворюється в два квадрата, побудованих на катетах.


Ідея докази Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді і площі великого і двох малих квадратів рівні. Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута З промінь s перпендикулярно гіпотенузі AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутника – BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників в точності рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах. Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією ж висотою і підставою, що і даний прямокутник, дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини твори підстави на висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (НЕ зображеного на малюнку), яка, в свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK. Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, – це довести рівність трикутників ACK і BDA (так як площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивості). Рівність це очевидно, трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними. Саме – AB = AK, AD = AC – рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90 ° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох розглянутих трикутників співпадуть (з огляду на те, що кут при вершині квадрата – 90 °). Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічно. Тим самим ми довели, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах.


Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи докази – симетрія і рух.


Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (так як трикутники ABC і JHI рівні з побудови). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і GDAB. Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, і площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається читачеві.

Comments are closed.